Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

A. Penjumlahan Vektor

Diandaikan sebuah partikel melakukan pergeseran A dilanjutkan dengan pergeseran B. Kedudukan akhir pergeseran ini sama dengan C, sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2.29(a). Pergeseran C disebut penjumlahan vektor atau resultan vektor dari dua vektor A dan B. Penjumlahan ini dituliskan sebagai  C=A+B

Vektor C adalah jumlah vektor A dan B. Penjumlahan vektor bersifat komutatif. Tanda positif pada penjumlahan vektor ini dicetak tebal untuk menekankan bahwa penjumlahan vektor memerlukan proses geometri dan berbeda dengan operasi penjumlahan dua besaran skalar seperti 2 + 3 = 5. 

Dalam penjumlahan vektor kita menempatkan pangkal vektor yang kedua pada ujung vektor yang pertama (Gambar 2.29(a)). Jika pergeseran dimulai dengan B dan dilanjutkan ke A ternyata hasilnya tidak berubah (Gambar 2.29(b)). Jadi, C=B+AdanA+B=B+A. 

Hasil ini menunjukkan bahwa urutan suku-suku penjumlahan vektor tidak penting. Dengan kata lain, penjumlahan vektor bersifat komutatif. Penjumlahan vektor sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 2.29(a) dan 2.29(b) disebut dengan metode segitiga. 

Gambar 2.29(c) menunjukkan alternatif lain dalam penggambaran penjumlahan vektor. Jika A dan B digambarkan dengan titik pangkal yang sama, resultan vektor C merupakan diagonal jajaran genjang yang sisi-sisinya A dan B. Penjumlahan ini dikenal dengan metode jajaran genjang. 

Perlu diketahut, jika C = A + B bukan berarti besarnya vektor C sama dengan besarnya vektor A ditambah besarnya vektor B. Gambar 2.29 menunjukkan bahwa C < A + B. Untuk keadaan khusus dimana A dan B sejajar maka besarnya C sama dengan besarnya A ditambah besarnya B (Gambar 2.30(a)). Sebaliknya, untuk A dan B keduanya antisejajar maka besarnya C sama dengan besarnyaA dikurangi besarnya B (Gambar 2.30(b)). 

Sebagai gambaran penjumlahan vektor, perhatikan ilustrasi berikut ini. Tiara berjalan 4 m ke timur kemudian dilanjutkan 3 m ke utara. Apakah perpindahan Tiara 7 m? Dengan menggunakan faktor skala panjang 1 cm mewakili perpindahan 1 m, maka perpindahan ke timur digambarkan 4 cm dan perpindahan ke utara digambarkan 3 cm. (Gambar 2.31). 

Dengan mengukur panjang resultan vektor R diperoleh panjang R = 5 m. Ini berarti perpindahan Tiara 5 m bukan 7 meter. Hasil ini menunjukkan bahwa penjumlahan vektor tidak sama dengan penjumlahan skalar. 

Jika vektor yang dijumlahican lebih dari dua, penjumlahan vektornya mengikuti aturan berikut ini. Mula-mula dua vektor sembarang dijumlahican, dan hasilnya dijumlahkan dengan vektor ketiga, dan seterusnya sampai seluruh vektor dijumlahkan. Gambar 2.32(a) menunjukkan tiga vektor A, B, dan C yang akan dijumlahican. Pada Gambar 2.32(b) vektor A dan B dijumlahkan sehingga menghasilkan vektor D. Kemudian, vektor D dijumlahican dengan vektor C sehingga menghasilican jumlah vektor R.

Jadi, Sebagai alternatif, kita dapat menjumlahican B dan C untuk menghasilican E. Kemudian vektor E ini dijumlahican dengan vektor A untuk memperoleh vektor R (Gambar 2.32(c). Jadi, Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa dalam penjumlahan vektor berlaku sifat asosiatif. 

Alternatif lain untuk menjumlahkan dua vektor atau lebih ,adalah dengan menggunalcan metode poligon (segi banyak). Metode ini dikenal pula dengan istilah metode pangkal-keujung. Caranya adalah sebagai berikut.
  • Gambarlah salah satu vektor yang alcan dijumlahkan, misalnya A.
  • Gambarlah vektor kedua, misalnya B, dan tempatkan pangkalnya pada ujung vektor A.
  • Gambarlah vektor ketiga, misalnya C, dan tempatkan pangkalnya pada ujung vektor B, dan seterusnya.
  • Resultan vektor dapat diperoleh dengan menghubungkan pangkal vektor pertama ke ujung vektor yang terakhir.
Gambar 2.32(d) dan 2.32(e)menunjukkan penjumlahan vektor dengan metode poligon.
 
B. Selisih Vektor

Telah dijelaskan di depan bahwa A adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor A tetapi arahnya berlawanan. Konsep ini digunakan untuk mendefinisikan pengurangan vektor. Selisih A B dari dua vektor A dan B didefinisikan sebagai penjumlahan A dan-B, yaitu: A = A —B) 

Gambar 2.33 menunjukkan contoh pengurangan vektor. Perhatikan bahwa untuk menggambar A — B, pangkal —B ditempatkan pada ujung A. 

Besaran vektor dapat dikalikan dengan besaran skalar atau bilangan murni. Vektor 2A adalah seba vektor yang arahnya sama dengan vektor A tetapi panjangnya 2 kali lipat. Secara umum, jika vektor A dikalikan dengan sebuah skalar c, hasilnya adalah cA dan besarnya iciA (harga mutlak c dikalikan dengan besarnya vektor A). Jika c positif, cA searah dengan A. Sebaliknya, jika c negatif, cA berlawanan arah dengan A. Jadi, 5A adalah vektor yang sejajar dengan A, sementara itu —5A adalah vektor yang anti sejajar dengan A. 

Contoh perkalian vektor dengan skalar adalah perumusan Hukum II Newton F = ma, dengan F adalah vektor gaya, m adalah massa benda, dan a percepatan benda. Perumusan ini akan dibahas lebih lanjut pada Bab 3. Karena massa benda m selalu positif maka F selalu searah dengan a.
 
C. Menentukan Besar dan Arah Resultan Vektor

Dengan salah satu metode yang telah diuraikan di atas, kita dapat menggambar resultan vektor. Pertanyaannya adalah berapakah besarnya dan kemanakah arahnya resultan vektor ini? Untuk menjawab pertanyaan ini ada dua cara yang dapat dilakukan. Pertama adalah dengan metode grafik dan kedua adalah dengan rumus cosinus. 

Metode Grafik Untuk menentukan besar dan arah resultan vektor dengan metode grafik dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut ini.
  • Lukislah sumbu-x positif yang digunakan. sebagai acuan untuk menentukan arah vektor.
  • Lukislah semua vektor yang akan dijumlahkan. Arah vektor ditentukan berdasarkan arah sumbu-x positif dengan menggunakan busur derajat. Untuk melukis besarnya vektor, gunakan faktor skala. Misalnya, jika 1 cm mewakili pergeseran 10 m, maka pergeseran 25 m harus dilukis sepanjang 2,5 cm.
  • Tentukan resultan vektor dengan metode poligon.
  • Ukurlah panjang dan arah resultan vektor ini dengan mistar dan busur derajat. Ingat bahwa pengukuran arah vektor dilakukan terhadap sumbu-- x positif. 

D. Komponen-Komponen Vektor

Kita telah mempelajari penjumlahan vektor dengan metode grafik. Sekarang kita akan membahas metode yang lebih umum yang digunakan dalam penjumlahan vektor. Metode ini dikenal sebagai metode komponen tyktor. 

Untuk memahami pengertian komponen vektor, kita akan menggambarkan sebuah vektor pada sistem koordinat kartesian. Titik pangkal vektor ini terletak pada pusat koordinat (Gambar 2.39). Sembarang vektor yang terletak pada sistem koordinat ini dapat dipandang sebagai penjumlahan dua vektor, yang masing-masing sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y. 

Dua vektor ini berturut-turut diberi simbol A dan A , sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.39. Vektor-vektor ini disebut komponen-komponen vektor A. Sebagaimana telah diuraikan di depan, jumlah komponen-komponen ini tentu saja A. 

Secara matematis, Perhatikan bahwa setiap komponen vektor terletak sepanjang arah sumbu koordinat. Besarnya komponen-komponen vektor A ini adalah Ax dan A . y Nilai A dan A ini disebut komponen-komponen A. Dengan mengetahui besar dan arah A, kita dapat menghitung Ax dan A . 

Gambar 2.39 menunjukkan vektor A yang arahnya membentuk sudut 0 terhadap sumbu-x positif. Dalam buku ini akan digunakan perjanjian pengukuran sudut 0 sebagai berikut. Sudut 0 bernilai positif jika pengukurannya dimulai dari sumbu-x positif menuju sumbuy positif. 

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Sebaliknya, sudut 0 bernilai negatifjika pengukurannya dimulai dari sumbu-x positif tetapi menuju sumbu-y negatif. Dengan demikian, sumbu-y positif terletak pada sudut 90°, sumbu-x negatif terietak pada sudut 180°, dan sumbuy negatif terletak pada sudut 270° atau 90°. Jika sudut 0 diukur dengan cara demikian,berdasarkan rumus trigonometri,dari gambar 2.39 diperoleh.

E. Pemakaian Komponen-Komponen Vektor

Dengan mengetahui besar dan arahnya, sebuah vektor dapat ditentukan komponen-komponennya, yaitu dengan menggunakan persamaan (2-16). Proses yang sebaliknya juga dapat dilakukan, dengan mengetahui komponen-komponennya, kita dapat menentukan besar dan arah vektor. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, dari Gambar 2.39 dapat diperoleh besarnya vektor A, yaitu.

Arah vektor dapat diperoleh dari definisi tangen sudutnya, Sekarang akan ditunjukkan cara menggunakan komponen-komponen vektor untuk menghitung jumlah vektor (resultan) dari dua vektor atau lebih. Gambar 2.42 me enunjukkan penjumlahan dua vektor A dan B yang menghasilkan resultan R. Tampak bahwa R adalah jumlah dari Ax dan B, demikian pula R merupakan jumlah dari A dan B . Jadi, Gambar 2.42 Vektor R merupakan jumlah dari A dan B. 

Gambar 2.42 menunjukkan bahwaAx ,A , B , dan B semua bertanda posiis y x Akan tetapi persamaan (2-20) sebenarnya berlaku untuk semua tanda, baik positif maupun negatif. Prosedur untuk memperoleh jumlah dua vektor di atas dapat dikembangkan untuk penjumlahan lebih dari dua vektor. Diandaikan R adalah jumlah dari A, B, C, D, E, maka komponen-komponen R adalah Arah vektor resultan R adalah.




Daftar Pustaka: Yudhistira