Sistem Perkalian Vektor dan Hasil Kali Skalar

Sekarang kita akan mempelajari perkalian vektor. Seperti diketahui, vektor berbeda dengan bilangan biasa, sehingga perkalian yang berlaku pada bilangan biasa tidak dapat diterapkan secara langsung pada vektor. Di sini akan dibicarakan dua perkalian vektor. 

Pertama, hasil kali skalar atau perkalian titik (dot product) yaitu perkalian vektor yang hasilnya skalar. Kedua, hasil kali vektor atau perkalian silang (cross product) yaitu perkalian vektor yang menghasilican vektor lain. 

A. Hasil Kali Skalar

Hasil kali skalar dari dua vektor A dan B dituliskan sebagai A•B. Karena penulisan ini, hasil kali skalar disebut juga perkalian titik (dot product). Untuk mendefinisikan hasil kali skalar A•B, dua vektor A dan B digambarkan dengan titik pangkal yang sama (Gambar 2.45(a)). 

Sudut antara kedua vektor ini adalah dengan 0° < (i) < 180°. Gambar 2.45(b) menunjukkan proyeksi vektor B pada arah A. Proyeksi ini merupakan komponen B yang sejajar dengan A dan nilainya adalah B cos Perkalian skalar A•B didefinisikan sebagai besarnya A dikalikan dengan komponen B yang sejajar dengan 

A Secara matematis, Sebagai alternatif, A•B dapat juga didefinisikan sebagai hasil kali besarnya B dengan komponen A pada arah B (Gambar 2.45(c)). Jadi, A•B = B (A cos (1)) = AB cos (1), yang tidak lain adalah persamaan (2-23). 

Hasil kali skalar merupakan besaran skalar, dan mungkin bernilai positif, negatif, atau nol bergantung pada nilai Jika 0° < < 90° hasil kali skalar nilainya positif. Jika 90° < (/) < 180°, hasil kali skalar nilainya negatif. Jika = 90°, hasil kali skalar sama dengan nol. Jadi, hasil kali skalar antara dua vektor yang saling tegak lurus selalu sama dengan nol. 

Untuk dua vektor sembarang A dan B, AB cos tefr = BA cos Ini berarti A•B = B•A. Jadi, perkalian titik bersifat komutatif. Perkalian titik ini akan dijumpai pada pembahasan usaha dan energi untuk menjelaskan usaha yang dilakukan oleh gaya yang bekerja pada benda. Jika gaya F bekerja pada benda sehingga benda mengalami pergeseran s, maka usaha yang dilakukan gaya F adalah.

Usaha yang dilakukan gaya ini bernilai positif jika sudut antara F dan s terletak antara 0° dan 90°, negatif jika sudutnya antara 90° dan 180°, dan nol jika F dan s saling tegak lurus. Berbeda dengan bahasa sehari-hari, kata usaha" dalam fisika mempunyai arti khusus. 

Kata "usaha" dalam bahasa sehari-hari tidak mengenal harga positif atau negatif. Perhatikan kalimat berikut ini. Istiana berusaha menjadi juara kelas. Atau, koperasi Cinta-Makmur mempunyai usaha simpan-pinjam. 

B. Hasil Kali Vektor

Hasil kali vektor dari dua vektor A dan B disebut juga hasil kali silang (cross product), dituliskan sebagai A x B. Kita akan menggunakan hasil kali silang ini untuk menjelaskan momen gaya, momentum sudut, gaya Lorentz, dan lain-lain. 

Seperti pada pembahasan hasil kali titik, untuk mendefinisikan hasil kali vektor A x B, kita gambarkan dua vektor A dan B dengan titik pangkal yang sama atau berimpit (Gambar 2.47(a)). Tampak bahwa dua vektor ini terletak pada bidang datar. Hasil kali vektor A x B menghasilkan vektor baru yang arahnya tegak lurus pada A dan B dan besarnya sama dengan AB sin Dengan demikian, jika C = A x B, maka.

Jadi, C pada persamaan (2-24) selalu positif, sebab 0° < 0 < 180°. Jika A dan B sejajar atau antisejajar, yaitu 0 = 0° atau (/) = 180°, maka C = 0. Oleh karena itu, hasil kali silang dari dua vektor yang sejajar atau antisejajar selalu sama dengan nol. Demikian pula jika suatu vektor dikalikan silang dengan dirinya sendiri, misalnya A x A, hasilnya juga nol. 

Dari bidang datar yang dibentuk oleh A dan B, ada dua vektor yang tegak lurus bidang ini (Gambar 2.47). Pilihan arah A x B dapat ditentukan melalui aturan tangan kanan. Diandaikan A diputar menuju B melalui sudut terkecil Bayangkan lingkaran jari-jari tangan kanan Anda mengelilingi garis yang tegak lurus bidang yang dibentuk oleh vektor A dan B, sehingga ujung jari-jari tangan Anda menunjukkan arah rotasi dari A ke B. 

Dengan posisi demikian, ibu jari menunjukkan arah A x B (Gambar 2.47(a)). Aturan tangan kanan ini sesuai dengan sekrup putar kanan. Jika sekrup diputar dari A ke B, maka arah majunya sekrup ini merupakan arah A x B. Dengan cara yang sama, arah B x A dapat ditentukan dengan rotasi dari B ke A. Hasilnya akan berlawanan dengan A x B (Gambar 2.47(b)). Oleh karena itu, hasil kali vektor tidak bersifat komutatif: 

Seperti pada pembahasan hasil kali skalar, kita dapat memberikan interpretasi geometris besarnya hasil kali vektor. Pada Gambar 2.48(a), B sin 0 adalah komponen vektor B yang tegak lurus terhadap arah vektor A. Dari persamaan (2-25), besarnyaA x B sama dengan besarnyaA dikalikan dengan komponen B yang tegak lurus A. Gambar 2.48(b) menunjukkan bahwa besarnya A x B juga sama dengan besarnya B dikalikan dengan komponen A yang tegak lurus B. 

C. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai besar satu dan tidak mempunyai satuan. Vektor satuan ini dimaksudkan untuk menjelaskan arah suatu vektor. Untuk membedakan dengan vektor biasa, vektor satuan biasanya dituliskan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. 

Sistem Perkalian Vektor dan Hasil Kali Skalar

Dalam sistem koordinat x-y, kita mendefinisikan vektor satuan iyang searah dengan sumbu-x positif dan vektor satuan j yang searah dengan sumbu-y positif. Dengan demikian, komponen-komponen vektor A dapat dituliskan sebagai Jadi, vektor A dapat dituliskan sebagai.

Perhatikan bahwa persamaan (2-26) dan (2-27) merupalcan persamaan vektor, masing-masing suku, misalnya Axi, menunjukkan besaran vektor (Gambar 2.50). Jika dua vektor A dan B dinyatakan dalam komponen-komponennya, kita dapat menentukan jumlah vektor dengan mudah. A = Axi + Ayj, B = Bxi + j, R = A + B = (Axi + A.) + (B xi + B = (Ax + B + (Ay + Byij = Rxi + Ryj 

2  Besarnya R adalah R= 2   Bandingican   dengan   persamaan   (2-17)). Jika suatu vektor tidak terletak pada bidang kita memerlukan wmponen vektor ketiga. Komponen ketiga ini mempunyai vektor satuan vang searah dengan sumbu-z positif. 

Dengan demikian, persamaan 2-28) dapat dikembangkan menjadi vektor 3 dimensi, yaitu: A = Ai+A)+A k, = Bxxi + B + Bzzk, It = A + B = (A + A yj + A zk) + (B xi + + B k) = (Ax+ Bx)i + (A + By) j + (Az+ Bz)k = Ri + Rij + Rk. (2-29) at ditunjukkan bahwa besarnya R adala.



Daftar Pustaka: Yudhistira